Ολοκληρωμένη αριθμομηχανή

Αυτή η αριθμομηχανή ολοκληρωμένων απλοποιεί άμεσα οριστικά και αόριστα ολοκληρώματα με πολλαπλές μεταβλητές. Συμμετάσχετε βήματα στον ολοκληρωμένο υπολογισμό περίπλοκων συναρτήσεων με ένα μόνο πάτημα.

Τι είναι το Integral;

Στον λογισμό:

«Το ακέραιο συσχετίζεται με το άθροισμα που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του εμβαδού και του όγκου με όλες τις γενικεύσεις».

Ολοκληρωμένο είναι η περιοχή κάτω από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης ή ενός διαστήματος. Στην πραγματικότητα, η διαδικασία εύρεσης του ολοκληρώματος είναι γνωστή ως ολοκλήρωση και είναι το αντίστροφο των παραγώγων και γι' αυτό αναφέρεται και ως αντιπαράγωγα.

Πώς να βρείτε αντιπαράγωγα;

Η αριθμομηχανή αντιπαραγώγων με βήματα βρίσκει αντιπαράγωγο οποιασδήποτε έκφρασης με μεταβλητές και βοηθά επίσης στην πραγματοποίηση του άνω και του κάτω ορίου με τις μέγιστες και ελάχιστες τιμές των διαστημάτων.

Η ηλεκτρονική μας αριθμομηχανή ολοκληρωμένων με βήματα είναι ο καλύτερος τρόπος για να απλοποιήσετε κάθε είδους αναπόσπαστο. Αλλά αν ο στόχος σας έρχεται με χειροκίνητους υπολογισμούς, θα πρέπει να πιάσετε τόσο συγκεκριμένες όσο και αόριστες τεχνικές ολοκλήρωσης.

Ας λύσουμε μερικά παραδείγματα για να διευκρινίσουμε την ιδέα σας!

Ορισμένο ολοκλήρωμα:

Λύστε το παρακάτω οριστικό ολοκλήρωμα με βήματα

$$ \int_{0}^{1}\left( 3 x^{2} + x - 1 \right), dx $$

Λύση:

Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να λάβουμε τα αποτελέσματα για αόριστη ολοκλήρωση του δεδομένου ολοκληρώματος

$$ \int{\left(3 x^{2} + x - 1\right),dx} $$

$$ = x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right) $$

Το θεμελιώδες θεώρημα της οριστικής ολοκλήρωσης δηλώνει ότι

$$ \int{a}^{b} F\left(x\right) dx = f\left(b\right)-f\left(a\right) $$

$$ \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x = 1\right)} = \frac{1} {2} $$

$$ \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x = 0\right)} = 0 $$

$$ \int_{0}^{1}\left(3 x^{2} + x - 1\right), dx $$

$$ = \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x=1\right)}-\left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x=0\right)} $$

$$ =\frac{1}{2} $$

Ποια είναι η απαιτούμενη απάντηση. Μπορείτε επίσης να επαληθεύσετε τα αποτελέσματα χρησιμοποιώντας την ενσωματωμένη αριθμομηχανή μας σε μια στιγμή.

Αόριστο ολοκλήρωμα:

Αξιολογήστε το ολοκλήρωμα που δίνεται όπως παρακάτω

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

Λύση:

Ας κάνουμε μια υπόθεση ότι

$$ u = x^{2} $$

Υπολογίζοντας τον αντιπαράγωγο τύπο της παραπάνω εξίσωσης εφαρμόζοντας τον κανόνα ισχύος:

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{n}\right) = nx^(n-1) $$

Υποκατάστατο n=2

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{2}\right) = 2x^(2-1) $$

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{2}\right) = 2x $$

Ως $$ x^{2} = u $$

έτσι έχουμε

$$ d\left(u\right) = \left(x^{2}\right) = 2xdx $$

$$ d\left(u\right) = xdx $$

Τώρα, εφαρμόζοντας τον αντιπαράγωγο κανόνα:

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = \int d\frac{cos\left(u\right)}{2}, du $$

Πρέπει να εφαρμόσουμε τον κανόνα πολλαπλασιασμού που είναι ο εξής

$$ \int cf\left(u\right), du $$

$$ = c\int f\left(u\right), du $$

$$ \int \frac{cos\left(u\right)}{2}, du $$

$$ = \left(\frac{\int cos\left(u\right), du}{2}\right) $$

Ως ολοκλήρωμα συνημιτόνου δίνεται ως εξής

$$ \int cos \left(u\right), du = sin \left(u\right) $$

$$ int cos \left(u\right), du = \frac{sin\left(u\right)}{2} $$

Όπως στην αρχή, αφήσαμε το

$$ u = x^{2} $$

$$ \frac{sin\left(u\right)}{2} = \frac{sin\left(x^{2}\right)}{2} $$

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = \dfrac{sin\left(x^{2}\right)}{2} $$

Προσθέτοντας εδώ τη σταθερά ολοκλήρωσης που είναι C

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = d\frac{sin\left(x^{2}\right)}{2} + C $$

Ποιος είναι ο απαιτούμενος ολοκληρωτικός υπολογισμός της δεδομένης συνάρτησης και μπορεί επίσης να επαληθευτεί με τη χρήση του αόριστου ολοκληρωτικού λύτη.

Λειτουργία του Integral Calculator:

Για να χρησιμοποιήσετε τον αντιπαράγωγο αριθμομηχανή μας, μπορείτε να λάβετε το ολοκλήρωμα οποιασδήποτε συνάρτησης. Απλώς εισαγάγετε τις ακόλουθες εισόδους και λάβετε άμεσους υπολογισμούς αναπόσπαστου!

Είσοδοι:

Εισαγάγετε τη συνάρτηση στο αντίστοιχο πεδίο
Επιλέξτε τη σχετική μεταβλητή από μια γειτονική λίστα
Επιλέξτε τον τύπο του ολοκληρώματος
Εάν επιλέξετε "Ορισμένο ολοκλήρωμα", εισαγάγετε το κάτω και το άνω όριο
Πατήστε "Υπολογισμός"

Έξοδοι:

Η ηλεκτρονική μας αριθμομηχανή ορισμένων ολοκληρωμάτων θα σας δώσει την ακόλουθη απάντηση.

Ορισμένα και αόριστα ολοκληρώματα
Οικόπεδα ολοκληρωμάτων με τα πραγματικά και φανταστικά μέρη τους
Ολοκληρωμένη απλοποίηση με βήματα

Συχνές ερωτήσεις:

Μπορείτε να βγάλετε αριθμούς από ένα ολοκλήρωμα;

Ναι σίγουρα! Μπορείτε να σύρετε τους σταθερούς αριθμούς από τα ολοκληρώματα για να κάνετε τους υπολογισμούς εύκολους.

Για παράδειγμα, το ολοκλήρωμα $$ \int 3y + 9 $$ είναι το ίδιο όπως πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό 3 με το ολοκλήρωμα $y + 3$.

Ποια είναι η χρήση των αντιπαραγώγων;

Αυτός ο όρος χρησιμοποιείται για την εκτίμηση του εμβαδού κάτω από την καμπύλη, του όγκου ενός στερεού, της απόστασης, της ταχύτητας, της επιτάχυνσης, της μέσης τιμής μιας συνάρτησης και του εμβαδού οποιουδήποτε σχήματος. Για το σκοπό αυτό, λαμβάνετε τη βοήθεια του αντιπαραγώγου αριθμομηχανή μας.

Μπορεί ένα ολοκλήρωμα να είναι άπειρο;

Ναί! Κάθε αόριστο ολοκλήρωμα που ορίζεται με θετικά και αρνητικά όρια λέγεται άπειρο. Μπορείτε επίσης να αξιολογήσετε τέτοιου είδους ολοκλήρωση με αυτόν τον αόριστο υπολογιστή ολοκληρώματος με βήματα.

Μπορείτε να πάρετε το ολοκλήρωμα κάθε συνάρτησης;

Ένα ολοκλήρωμα μπορεί να ληφθεί μόνο μιας συνεχούς συνάρτησης. Ο λόγος είναι ότι μια τέτοια συνάρτηση ορίζεται και εμφανίζει την περιοχή κάτω από την καμπύλη.

Μπορεί ένα ολοκλήρωμα να είναι μηδέν;

Ναι, είναι μόνο ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα που μπορεί να είναι είτε θετικό, αρνητικό ή μηδενικό.

Τι είναι το αντιπαράγωγο του Ε στο Χ;

Η αντιπαράγωγος του e^x γράφεται με τη μορφή ex + c όπου c είναι η σταθερά ολοκλήρωσης.

Είναι ένα ολοκλήρωμα πάντα διαφοροποιήσιμο;

Μπορείτε να διαφοροποιήσετε μόνο το ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης που είναι αόριστη στη φύση της.

Γιατί τα ολοκληρώματα έχουν σταθερό C;

Η σταθερά C προστίθεται για να αναπαραστήσει εκείνες τις συναρτήσεις των οποίων οι παράγωγοι είναι οι αρχικές συναρτήσεις.

Σημαντικοί ολοκληρωμένοι τύποι:

Λειτουργίες	Ενσωμάτωση
∫1 dx	x + c
∫xⁿ dx	xⁿ⁺¹/ n+1 + c
∫a dx	ax + c
∫ (1/x) dx	lnx + c
∫ a^x dx	a^x / lna + c
∫ e^x dx	e^x + c
∫ sinx dx	-cosx + c
∫ cosx dx	sinx + c
∫ tanx dx	- ln\|cos x\| + c
∫ cosec²x dx	-cot x + c
∫ sec²x dx	tan x + c
∫ cotx dx	ln\|sinx\| + c
∫ (secx)(tanx) dx	secx + c
∫ (cosecx)(cotx) dx	-cosecx + c
∫ 1/(1-x²)^1/2 dx	sin^-1x + c
∫ 1/(1+x²)^1/2 dx	cos^-1x + c
∫ 1/(1+x²) dx	tan^-1x + c
∫ 1/\|x\|(x² - 1)^1/2 dx	cos^-1x + c

EN	ES	PT
ID	FR	TR
AR	RU	JA
PL	DE	IT
CS	KO	FI
DA	NO	SV
NL	EL	TH
VI	ZH	HU
BG	HI

EN	ES	PT
ID	FR	TR
AR	RU	JA
PL	DE	IT
CS	KO	FI
DA	NO	SV
NL	EL	TH
VI	ZH	HU
BG	HI

Ολοκληρωμένη αριθμομηχανή

Τι είναι το Integral;

Πώς να βρείτε αντιπαράγωγα;

Ορισμένο ολοκλήρωμα:

Λύση:

Αόριστο ολοκλήρωμα:

Λύση:

Λειτουργία του Integral Calculator:

Συχνές ερωτήσεις:

Μπορείτε να βγάλετε αριθμούς από ένα ολοκλήρωμα;

Ποια είναι η χρήση των αντιπαραγώγων;

Μπορεί ένα ολοκλήρωμα να είναι άπειρο;

Μπορείτε να πάρετε το ολοκλήρωμα κάθε συνάρτησης;

Μπορεί ένα ολοκλήρωμα να είναι μηδέν;

Τι είναι το αντιπαράγωγο του Ε στο Χ;

Είναι ένα ολοκλήρωμα πάντα διαφοροποιήσιμο;

Γιατί τα ολοκληρώματα έχουν σταθερό C;

Σημαντικοί ολοκληρωμένοι τύποι:

Σχετικοί Υπολογιστές